Matematyka zaklęta w katedrze

MATEMATYKA

ZAKLĘTA W KATEDRZE

A było tak: jest rok 1844, w Płocku urodził się Józef Pius Dziekoński, później znakomity architekt, twórca kilkudziesięciu obiektów sakralnych na Mazowszu, cieszących oko, poczucie estetyki
i duchowość zacnych mieszkańców mazowieckich stron.

Jest rok 1867. Nieopodal Dworca Petersburskiego (obecnie Wileński), zbudowano cerkiew w stylu bizantyjsko-rosyjskim p.w. św. Marii Magdaleny. Dygnitarze carscy z okien pociągu nadjeżdżającego z petersburskiego kierunku, zauważali z oddali mieniące się w słońcu złociste kopuły prawosławnej świątyni. A podróżując dalej mogli zatrzymać się w swojej cerkwi na chwilę refleksji i zadumy nad …

Jest rok 1886. Car Aleksander III w swojej chwilowej łaskawości wyraził zgodę na budowę kościoła w miejscu nieodległym od cerkwi, bo ilość wiernych mieszkańców Pragi dawno przekroczyła 30 tysięcy, a margines biedy był tu ogromny. Ludność zamieszkiwała walące się, odrapane kamienice, gromadziła się na zapyziałych podwórkach – studniach, bezbarwnie i bez szans. Na szczęście bogatsi mieszkańcy Warszawy wsparli finansowo inicjatywę tej budowy i nie było większych problemów ze zbiórką pieniędzy, nawet poza miastem. Wcześniej ogłoszono konkurs na budowę świątyni; najlepszy i najbardziej precyzyjny okazał się projekt zgłoszony przez wspomnianego wcześniej Józefa Piusa Dziekońskiego, wziętego już i uznanego architekta, w tym czasie dziekana Wydziału Architektury Politechniki Warszawskiej.

Kościół p.w. św. Michała Archanioła i św. Floriana Męczennika, kiedyś nazywany potocznie przez mieszkańców, kościołem „koło misiów”, został wzniesiony w latach 1888-1904. Jest to budowla niezwykła, bazylika mniejsza, od 1992 roku Katedra diecezji warszawsko-praskiej.

Skąd niezwykłość tego gmachu? Został on zbudowany w stylu gotyku mazowiecko - nadwiślańskiego, który możemy nazwać neogotyckim, w opinii specjalistów zajmujących się architekturą sakralną, obecna katedra została uznana za wzorcową. A i sam jej twórca i konstruktor twierdził zawsze, że to jest jego najlepsze dzieło. Budowla zachwyca perfekcją wykonania i niemal klasycznymi symetriami. Wewnątrz mnóstwo zabytków wysokiej klasy, szczególnie obrazy, wśród których znakomita kopia dzieła Jezus Miłosierny, jakby żywcem przeniesionego z Wilna,
a w przedsionku krucyfiks słynący cudami. I jeszcze elementy architektonicznie doskonale skonstruowane i włączone w całość budowli.

Wiele jest zachwycających obiektów sakralnych w Warszawie, szczególnie barokowych, choćby tych przy Krakowskim Przedmieściu. Zdecydowaliśmy się jednak na zaprezentowanie katedry florianowej, dlaczego? Jest ona wybitnie matematyczna. Dziekoński wkomponował tu elementy architektoniczne szczegółowo, wzorcowo, po inżyniersku, tworząc do swojej realizacji wzory, figury
i niemal zadania z matematyki. O jakie szczegóły tu chodzi? Ostrołukowe sklepienia, maswerki – geometryczne części wypełniające otwory, wieże o stalowej konstrukcji, kolorowe witraże, liczne elementy roślinne i kwietne i wiele innych, o których będzie jeszcze mowa szczegółowo
i fachowo. Poza tym obiekt jest wolno stojący, łatwy do swobodnego obejścia, obejrzenia, podziwiania, fotografowania z każdej odległości i chyba stosunkowo nieodległy od naszych miejsc zamieszkania, a przejeżdża się też obok niejednokrotnie.

Może jeszcze malutka ciekawostka. Na frontonie katedry zauważyć można wizerunek herbu warszawskiej Pragi. Podobno jest to jeden z najtrudniejszych do rozszyfrowania herbów miejskich
w Europie i zrozumienia jego symboliki. Zachęcamy do zatrzymania się i spojrzenia; jest umiejscowiony z prawej strony fasady.

Czas na odrobinę matematyki zaklętej w katedrze!

Geometria jest ukryta we wszystkich budowlach kiedykolwiek wzniesionych przez człowieka od zarania dziejów. Na początku nie była nazwana, nie było symboli matematycznych jak dzisiaj, ale człowiek z niej korzystał. Patrzył, badał, obserwował, mierzył, porównywał. To jest właśnie geometria: nauka o mierzeniu, o kształtach i odkrywaniu ukrytych w nich zależności. Potem
z czasem i rozwojem języka matematyki odkrywano i opisywano te własności i zależności
w figurach. Poznaliśmy wzory na odcinki, koła, łuki, ale też bardzo różne ciekawe krzywe. Od zawsze budowle, które nas urzekają, charakteryzuje piękno i harmonia.

Co kryje się za poczuciem piękna i harmonii? Przede wszystkim jest to symetria, która nadaje porządek, harmonię budowli. W tym artykule chcemy odkryć geometrię w katedrze w naszym pięknym mieście.

Katedra została zbudowana na przełomie XIX i XX wieku i jej styl neogotycki może znacznie odbiegać od praktyki stosowanej przy budowie katedr gotyckich w XII - XIV w.

Charakterystyczną ozdobą stylu gotyckiego i również neogotyckiego są MASWERKI czyli dekoracyjne geometryczne wzory odkute z kamienia lub z cegieł, używane do wypełnienia górnej części okna, rozety (rysunki powyżej). Mogą również występować jako dekoracja murów, ścian, wtedy nazwane są ślepymi maswerkami. Geometrycznie jest to kombinacja kół, łuków ostrych, liści, głównie sześcioliści. Poniżej zostaną opisane wybrane elementy maswerków takie jak: łuki,liście, rozety. Dodatkowo kilka słów napiszemy również o fryzach i tapetach ukrytych w witrażach okiennych i ozdabiających nie tylko ściany kościoła.

Symetria, fryzy i tapety.

Symetria jest wszędzie wokół nas, gdziekolwiek się obejrzymy, natura skrywa w sobie symetrię
i również człowiek ukrył ją w swoich dziełach. Potocznie na co dzień słowo symetria jest używane do opisu symetrii osiowej, czyli tzw. “odbicia lustrzanego”. Symetryczne wzory, budynki, przestrzenie przynoszą ukojenie i spokój.

W katedrze symetria jest obecna na każdym kroku, cała budowla jest symetryczna, ołtarz, nawy boczne, kolumny, okna, ozdoby, koła.

W języku matematycznym symetria należy do grupy przekształceń zwanych izometriami. Izometria jest przekształceniem płaszczyzny, w których niezmienna jest odległość między każdymi dwoma punktami. Zatem, co możemy zrobić z płaszczyzną, żeby nie zmienić odległości między każdymi dwoma punktami? Okazuje się, że całkiem sporo. Wyróżniamy:

translację czyli inaczej przesunięcie,
symetrię osiową inaczej symetria względem prostej zwana potocznie “odbiciem lustrzanym”,
obrót,
symetrię osiową z poślizgiem.

Od zawsze, dawno przed stworzeniem nazw i całej teorii izometrii, były one stosowane w sztuce
i architekturze. Można było je składać ze sobą, otrzymując ciekawe przykłady.

W ten sposób powstały fryzy czyli ozdobne poziome pasy na budowlach oraz tapety czyli wypełnione izometrycznymi wzorami całe płaszczyzny, np. ściany, często drzwi.

Co to są fryzy i tapety w ujęciu matematycznym ?

Fryz to figura płaska, nieograniczona o symetrii translacyjnej. Translacja jest realizowana tylko
w jednym kierunku - poziomym.

Tapeta to z kolei figura płaska nieograniczona o symetrii translacyjnej. Translacja jest realizowana w dwóch kierunkach.

Okazuje się, że istnieje tylko 7 rodzajów fryzów i aż 17 rodzajów tapet, w zależności od użytych izometrii.

Spójrzmy na poniższe zdjęcia z katedry, które przedstawiają fryzy i tapety w katedrze. Spróbujcie odkryć, jakie ukryte są tam izometrie?

Przykłady fryzów wewnątrz katedry oraz na zewnątrz zawierające tylko symetrie osiowe.

Tutaj widzimy piękny fryz metalowy z symetrią osiową, ale również z symetrią z poślizgiem.

Na powyższych zdjęciach widzimy przykłady tapet, czyli wypełnienia płaszczyzny w dwóch kierunkach z izometriami.

2. Łuki

Łuk to krzywa, która jest pewną częścią okręgu, okręgu, który jest figurą idealną o nieskończonej liczbie symetrii. W architekturze można spotkać wiele różnych rodzajów łuków: pełny, obniżony, podwyższony, ostrołuk, koszowy, Tudorów, perski.

W gotyku i neogotyku popularne były ostrołuki, które mogły powstawać z łuków okręgu
o promieniu równym podstawie, czyli na bazie trójkąta równobocznego. Zobaczmy, jak wygląda prosta konstrukcja takiego ostrołuku przy użyciu linijki i cyrkla. Poniższe konstrukcje i obliczenia są zacytowane z artykułu profesora Wojciecha Guzickiego w czasopiśmie Delta.

Musimy tutaj zauważyć, że w neogotyku różne okręgi i łuki w oknach już nie są styczne, co było znacznie powszechniejszą praktyką w średniowiecznym gotyku. Stąd analiza takiego okna z łukami
i okręgami jest znacznie trudniejsza, bo zakłada pewną dowolność w umieszczaniu poszczególnych elementów, dowolność wynikającą tylko z gustu. Do tego, nie wszystkie linie krzywe mogą być łukami okręgów. W końcu XIX wieku architekci umieli rysować inne krzywe (znane były tzw. krzywiki służące do rysowania łuków elips, parabol lub hiperbol). W średniowieczu zaś rysowano za pomocą cyrkla i linijki (a dokładniej: naprężonego sznurka). Zatem ostrołuki mogą być budowane na podstawie innej niż promień łuku, i wówczas ostrołuk nie będzie budowany na bazie trójkąta równobocznego.

Spójrzmy na zdjęcia naszej warszawskiej katedry i przyjrzyjmy się ostrołukom ukrytym
w witrażach, w oknach i na ścianach.

Zauważmy, że maswerki w oknach różnią się od tych gotyckich pokazanych na zdjęciu na początku artykułu. Motywem przewodnim jest w katedrze układ dużego ostrołuku, w który wpisane są trzy mniejsze ostrołuki i trzy okręgi prawie styczne do ostrołuków i do siebie. “Prawie styczne” robi dużą różnicę w konstrukcji, bo daje margines błędu w budowie.

Jednakże wykonanie analizy i obliczeń w takim przypadku jest bardzo skomplikowane, zwłaszcza, że nie mamy dokładnych wymiarów z katedry. Dlatego zostaniemy na przykładzie ostrołuku równobocznego i przeanalizujemy matematycznie maswerk zbudowany z dwóch ostrołuków wpisanych w jeden duży, a następnie wpisanie trzech okręgów stycznych. Konstrukcja została opracowana przez profesora Guzickiego w czasopiśmie Delta. Jest to namiastka ogromnego bogactwa geometrii ukrytej w przepięknych maswerkach.

3. Rozety

Charakterystycznym wykończeniem maswerku są rozety czyli okrągłe okna z delikatną konstrukcją kamienną, których puste przestrzenie są najczęściej wypełnione witrażami. Pierwsze rozety pojawiają się już w kościołach romańskich; zamiast witrażami są wypełnione cienkimi płytkami kamiennymi, przepuszczającymi światło. Podział rozety na części był bardzo różny, wykorzystywano do tego ciągi kolejno stycznych zewnętrznie okręgów, stycznych wewnętrznie do dużego okręgu tworzącego okno. Na rysunku 1. widzimy jedną z najprostszych rozet romańskich.
A na rysunku 2. możemy zobaczyć, w jaki sposób ta rozeta powstała.

W naszej warszawskiej katedrze zobaczymy rozety, w których zamiast łuków okręgów znajdują się kolejno styczne zewnętrznie ostrołuki, wierzchołki tych ostrołuków leżą na największym okręgu (tworzącym okno) a wewnątrz znajduje się mniejszy okrąg, będący środkiem rozety.

Konstrukcje te powstawały poprzez podział koła na równe wycinki, możemy powiedzieć, że ostrołuk był wpisywany w wycinek koła w następujący sposób: oba łuki ostrołuku były styczne do promieni wycinka koła, a wierzchołek ostrołuku leżał na środku łuku ograniczającego wycinek, jak na rysunku powyżej.

4. Wieloliście

Wieloliść to kolejny element wypełniający przestrzeń w maswerku, ale nie tylko, jest to również element dekoracyjny występujący samodzielnie. W naszej katedrze znajdziemy wieloliście
w różnych miejscach np. jako dekoracja umieszczona na ławkach, kracie czy konfesjonale.

W sztuce gotyckiej najczęściej pojawiają się trójliście, czteroliście i sześcioliście.

Wieloliście powstają z łuków okręgów kolejno stycznych zewnętrznie o środkach w wierzchołkach wielokąta foremnego. Jeśli ma być elementem maswerku to okręgi te muszą być również styczne wewnętrznie do większego okręgu np. na rysunku poniżej w największym okręgu na samej górze okna mamy sześcioliść, a w dwóch mniejszych znajdują się czteroliście.

Jak skonstruować trójliść?

Najpierw konstruujemy trójkąt równoboczny.

Następnie konstruujemy okręgi o środkach w wierzchołkach

tego trójkąta i promieniach równych połowie długości boku

trójkąta.

Usuwając łuki wewnątrz trójkąta otrzymujemy trójliść klasyczny.

Możemy również skonstruować trójliść zwężony, wystarczy, że promienie okręgów będą większe niż połowa długości boku trójkąta.

W naszej katedrze możemy odszukać trójliście klasyczne oraz zwężone.

Zajmiemy się teraz konstrukcją czteroliścia.

Konstruujemy kwadrat.

Następnie w wierzchołkach kwadratu konstruujemy okręgi

o promieniach równych połowie długości boku kwadratu. I tak

jak przy trójliściach możemy skonstruować czteroliść zwężony.

A oto przykłady czteroliści z naszej katedry:

Mamy nadzieję, że artykuł zachęci Was do odwiedzania i poznawania historycznych zabytków
w Warszawie oraz odkrywania w ich kształtach piękna matematyki.

Zamiast zakończenia

Pomysł tej realizacji powstał w naszym pokoju nauczycielskim, jeszcze w czasach względnie normalnych. Wykluł się podczas rozmów na tzw. okienku, czy w czasie przerw „niedyżuralnych”, raczej ad hoc i mimochodem, tak jakby ot co, od słowa do słowa. Konkretnych kształtów nabrał przy okazji naszej wizyty w katedrze warszawsko-praskiej, gdzie naocznie można było stwierdzić, że liczne elementy oraz geometryczne formy i kształty tam użyte, niewątpliwie miały solidne podstawy naukowe, wsparte gruntowną wiedzą inżynierską i zastosowaniem nowatorskich technik. Osoba naczelnego architekta świątyni, Józefa Piusa Dziekońskiego, konserwatora zabytków i dziekana Wydziału Architektury na Politechnice Warszawskiej, nasze przypuszczenia dodatkowo uwiarygodniła. Zdjęcia elementów architektonicznych budowli, wykonane przez nas na miejscu, nadały realizacji wspólnej koncepcji, kształtów realnych. Krystalizacja całości, z wykorzystaniem fachowej literatury, nie nastręczała trudności, a ograniczał ją jedynie chroniczny brak wolnego czasu, oczywiście. Tak powstał projekt „międzyresortowy”, z pogranicza wiedzy matematycznej
i umownie nazwijmy to, humanistycznej. Umownie, bo przecież architekturę studiuje się na politechnice, niemniej bez znajomości i rozumienia epok, w których budowle powstawały, czysta architektura kuleje na jedną nogę. I odwrotny wniosek; historia jest poniekąd i po części dziedziną ścisłą, siostrą architektury, zrodzoną z prawego łoża. Bo historia też wymaga logicznego myślenia
i podejmowania analiz, zdecydowanie.

Na koniec skonstatujmy z nadzieją, że może jakieś trzeźwe osoby z różnych grup zadaniowych naszej szkolnej rodziny, zechcą podjąć dalej tę myśl i koncepcję, zechcą ją uzupełniać, wzbogacać, przystrajać. Są w Warszawie dwie gotyckie świątynie, mnóstwo budowli klasycystycznych i nie tylko, na tle których można by się podjąć wykonania podobnego zadania, choć w przypadku dawniejszych zabytków, działało w ich konstrukcji też mędrca oko i szkiełko. Jest też w Warszawie późnobarokowy kościół Panien Wizytek przy Krakowskim Przedmieściu, z zadziwiającym wnętrzem, zaplanowanym i skonstruowanym wybitnie „ściśle”; barok lubił zaskakiwać. Oprócz wielu dzieł i detali zabytkowych można tam podziwiać wybitnie matematyczny, siedemnastowieczny obraz z wektorami, umieszczony w prezbiterium świątyni z lewej strony.

A katedra warszawsko-praska? Od ponad stu lat wpisuje się na stałe w krajobraz prawobrzeżnej części miasta. Wierzchołki jej smukłych dwóch wież, to najwyższe punkty warszawskiej Pragi; widać też te wieże, jak na dłoni, z każdego miejsca lewobrzeżnej, nadwiślańskiej skarpy, skąpane
w słonecznych promieniach, cieszące oczy i dusze spacerowiczów we wszystkie bezchmurne, pogodne dni.

Monika Przerada, Ewa Zagórska

i Jacek Murawski

Bibliografia:

Guzicki Wojciech, Geometria maswerków gotyckich, Wydawnictwo Szkolne Omega, Kraków 2011.
Dziadur Agata, Rosiński Szymon, Jabcoń Katarzyna, Co łączy geometrię z architekturą?, https://towarzystwo.edu.pl/assets/prace_matematyczne/Dziadur_Rosinski.pdf
Bernagiewicz Angelika, Górska Paulina, Geometria w architekturze, http://www.math.uni.wroc.pl/fmw/sites/default/files/upload_attach/maswerki.pdf